Сумма слагаемых не меняется

От перестановки слагаемых сумма не меняется – закон арифметики, знакомый всем из курса начальной школы. Сумма, действительно, не изменится. Однако будет другим наше восприятие полученной информации и изменится ее обработка. Если первым слагаемым будет число, которое больше второго, (3 + 8; 8 +3) то пример решится в уме быстрее. Замедление при решении первого примера из указанных выше, происходит из – за простой комбинации. В сознании большее число ставится на первое место, на процесс тратится время, затем только оба складываются. Пример с однозначными числами не так четко подчеркивает данное предположение, как сложение однозначного с двухзначными или трехзначными: (7 +98);(98 + 7). (345 + 5)(5+345).
И все же с числами работать легче, и проще понимать несложные законы, по которым их слагают, вычитают, сравнивают. Со словами ситуация иная, но есть существенное сходство. Видимо, неспроста, многие философы узрели в математике основы мироустройства, царицей всех наук ее считая. Я приведу пример, чтоб голословным не быть. Представим, что вам нужно рассказать, что вы больны. Два слова здесь всего нужны, но как расставить их – дилемма. Молвить — больно мне, или отрезать сухо — мне больно. Прочтите, вдумайтесь, произнесите вслух, прислушайтесь к произнесенной фразе, состоящей из всего лишь двух – местоимения, глагола. Предположу, что в первом случае заключено прошение о жалости, тоска, печаль. Скорее может относиться к обозначению душевных мук. Вторая фраза резко, твердо, звонко пронзает слух уж потому, что падает акцент на боль (ясно слышимо второе слово). А в первом случае акцента звон местоимением зыбучим, глухо притуплен. Или представим, что необходимо нам в любви признаться. Всего пять вариантов нам даны –1) Я тебя люблю,2) Я люблю тебя, 3)Люблю я тебя, 4)Тебя я люблю, 5)Люблю тебя я. Последние три фразы не привычны для ушей, да и для глаз, а потому могут восприняться с непониманием, как в устной речи, так и при чтении. Первая слишком прозаична и обыденна, используема часто многими людьми. Вторая же наиболее доступно доносит смысл, заложенный в нее, а именно признание в высоких чувствах. Попробуем мы фразу изменить, закон, оставив прежним. Слагаемые если переставишь, то сумма не изменится вообще – таково правило знакомое любому, из первых лет учения в стенах начальной школы.
Отнюдь не беспричинно начал рассуждение в несложной для понимания, анализа и восприятия манере, я сделал это для того, чтоб продемонстрировать отличие осмысления написанного просто, точно и неброско от впитывания знании, изложенных в манере поэтической. Включается эстетическое восприятие — вспомогательная для благоприятного усвоения функция. Особенно важно включение эстетической, вспомогательной функции у женщин потому, что углубление в мыслительную, бесчувственную деятельность не их любимое занятие. Для благоприятного усвоения информации умом особ прекрасного пола необходима подпитка в виде чувств. Для подтверждения очевидности моей догадки, приведу пример с просмотром известного на весь мир фильма Титаник. До гибели главного героя — Джека Доусона, тонут множество людей, в том числе и дети. Учитывая факт, что фильм основан на реальных событиях, то рыдать уместно на протяжении всего просмотра. Однако у особ прекрасного пола, и не только у них, что очень важно (ком в горле ), слезы выступают из глаз только под конец, когда под воду уходит всего лишь один человек. Конечно, печальна гибель даже одного, с ним умирает целый мир. Однако подобных людей в картине много. И вопреки рациональным доводам картины гибели других участников запечатлеваются не так же отчетливо, как вызывающая эмоции, гибель главного героя, его последние слова. Пример с фильмом приведен для наглядности, после прочтения некоторых текстов тоже могут быть вызваны умеренные эмоции.
Существует один из самых эффективных способ передачи информации и закрепления ее в памяти получателя, посредством изложения в форме текстов, которым часто пользовались мыслители, чьи фразы кочевали из уст в уста. Информирование путем построения сложных предложении, для понимания которых, требуется напряжение мыслительных сил в полной мере – является наиболее результативным подходом выполнения данной задачи. Представим, что вы видите впервые правило или закон, о котором раньше нигде даже не слышали, и вам важно его суть запомнить после прочтения, при условии, что можно перечитывать предложение, если не сразу было понято оно. Работа, заключающаяся в чтении и запоминании первого абзаца не провоцирует включение мыслительного аппарата на всю мощь, потому что можно, быстро пробежав глазами, в него вложенную мысль, без трудности понять. Когда же третьего абзаца происходит освоение, процесс чтения замедляется, вдумчивее и спокойнее, а, как известно, в состоянии покоя нервной системы, информация усваивается гораздо крепче.
Еще эффективнее для развития мыслительных способностей чтение и анализ предложении, мысль, вложенную в которые, трудно просто понять.
В изменении восприятия умом знании, в которых заключены живые чувства и глубокие переживания отдельной личности или сухая констатация фактов, касающаяся определенной части социума, в зависимости от манеры, стиля преподнесения оных, от расстановки слов в предложении – кроется одно из преимуществ русского языка перед многими другими, в которых каждой части речи определено конкретное, сообразно правилу, место.
Если при устном информировании подкреплением точности смысла, вложенного в слова, выступают интонация, громкость голоса, тембр голоса, то при письменном изложении усилителей лингвистического воздействия, эффекта впитывания гораздо больше, и это не только знаки в конце предложении.
Не стоит нервничать, когда чего – то не осмыслил, мыслительный процесс, — сам по себе, — развитие ума, уже полезен, ну а к тому же, всегда имеется возможность текст перечитать, попробовать понять идею снова.
В заключение построим логическую цепь из выводов.
выводы: Чтение простых предложении не активизирует умственные силы на всю мощь, и поэтому запоминание происходит только при заучивании. ( имеются в виду сознание взрослого человека). В памяти глубоко мыслящих индивидов, знание откладывается прочнее, если было почерпнуто из сложно – сочиненного или сложноподчиненного предложения, так как процесс осмысления требует полного сосредоточения. Даже понимание сути предложении, которую с первого раза не освоить, развивает функции мозга и включает его в кропотливую, усердную работу. Запоминание умом на фоне умеренных, положительных, эмоции крепче.

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад | Оглавление | Далее >>

Еще недавно, учась сложению чисел, мы складывали кучки из монет. Тогда перед нами стояла задачи сложить две кучки. Но допустим, мы хотим теперь сложить не две, а несколько кучек. Это можно было бы сделать так: сгребаем их все сразу в одну большую кучу и пересчитываем в ней все монеты. Такой способ сложения всем бы был хорош, да только ни на счетах, ни на бумаге нельзя сделать ничего подобного. На счетах и бумаге мы умеем складывать между собой только два числа. Поэтому мы не будем сгребать вместе сразу все кучки, а поступим так, чтобы все наши действия можно было легко перенести на бумагу.

Итак, перед нами несколько кучек из монет. Мы знаем, сколько монет в каждой кучке, и теперь мы хотим узнать, сколько же у нас всего монет во всех кучках. Мы берем любые две кучки и сдвигаем их вместе, образуя одну новую кучку побольше. Умея складывать два числа на бумаге, мы сможем легко вычислить, сколько у нас монет в новой кучке без фактического их пересчета. Теперь у нас стало на одну кучку меньше. Далее, берем еще две кучки, сливаем их воедино, вычисляем новое число монет в только что образованной кучке и, таким образом, снова уменьшаем количество кучек на одну. Мы повторяем и повторяем эту процедуру, уменьшая всякий раз число кучек на единицу, до тех пор пока у нас не останется одна-единственная большая куча. Число монет в этой куче нам известно, причем вычислили мы его на бумаге, а не прямым пересчетом.

Очевидно, мы получим один и тот же ответ, совершенно независимо от того, в каком порядке мы сдвигали кучки. А значит, когда перед нами находится сумма чисел, например,

8 + 9 + 2,

мы можем вычислять ее тоже в любом порядке. Поэтому мы всегда будем выбирать такой порядок, какой для нас наиболее удобен. В данном случае удобно вначале сложить восьмерку и двойку, а потом добавить девятку:

8 + 2 + 9 = 10 + 9 = 19.

Но математический язык — это язык строгих правил. Спрашивается: на основании какого правила мы можем произвольно менять порядок вычислений при нахождении суммы нескольких слагаемым? Мы знаем, например, свойство коммутативности (которое, на школьном языке, называется также перестановочным свойством сложения):

a + b = b + a.

Можем ли мы, опираясь на это свойство, написать

8 + 9 + 2 = 8 + 2 + 9,

то есть просто переставить местами девятку и двойку, подобно тому, как мы меняем местами переменные a и b? Оказывается, нет, не можем. Вспомним, что, собственно, означает запись

8 + 9 + 2.

Это, как мы раньше договорились, всего лишь упрощенный вариант более подробной записи

(8 + 9) + 2.

Коммутативность сложения означает, что мы можем переставлять местами два непосредственно складываемых друг с другом числа. То есть, мы можем написать так:

(8 + 9) + 2 = (9 + 8) + 2,

или так:

(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9),

или даже так:

(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9) = 2 + (9 + 8),

однако при этом никак нельзя сделать так, чтобы восьмерка вначале складывалась с двойкой, а потом прибавлялась девятка. Коммутативность означает, что мы можем с одинаковым результатом либо кучку a придвинуть к кучке b, либо наоборот, кучку b придвинуть к кучке a, но коммутативность не позволяет произвольно выбирать пары кучек для слияния.

Как же быть? Мы должны вспомнить еще об одном свойстве сложения, а именно об ассоциативности (на школьном языке оно называется сочетательным свойством сложения):

(a + b) + c = a + (b + c).

Это свойство действительно позволяет менять порядок объединения кучек. Впрочем, далеко не произвольно. Мы теперь можем написать так:

(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2).

Если раньше мы должны были сперва обязательно складывать восьмерку и девятку, то теперь можем начать с того, чтобы сложить девятку и двойку. Но это же вовсе не то, к чему мы стремимся!

На самом деле, тут нужно воспользоваться обоими свойствами сразу. С помощью ассоциативности мы пришли к выражению

(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2).

Теперь воспользуемся коммутативностью и поменяем местами девятку и двойку:

8 + (9 + 2) = 8 + (2 + 9).

Далее, снова воспользуемся ассоциативностью:

8 + (2 + 9) = (8 + 2) + 9.

И наконец, перепишем конечное выражение в упрощенном виде:

(8 + 2) + 9 = 8 + 2 + 9.

После многих усилий мы получили результат, который и без того с самого начала был очевиден. Зачем же это было нужно? А если нам понадобится посчитать более длинное выражение, например,

1 + 8 + 5 + 2 + 9,

нам тоже надо будет действовать по правилам? Разве мы не сможем сразу переписать его в удобном виде:

(9 + 1) + (8 + 2) + 5?

Вопросы резонные и в них следует хорошенько разобраться.

Начнем с того, что так уж устроена математика: ученые-математики вначале вводят хорошо продуманные правила, а потом неукоснительно им следуют. Другое дело, что нам с вами (пока еще не ученым), для того чтобы хорошо решать математические задачи, все эти правила знать необязательно. Я бы и не рассказывал вам ничего про коммутативность и ассоциативность, да только в школьных учебниках эти свойства (правда, под другим названием) выписаны жирным шрифтом и обведены в рамочку. При этом, однако, толком не объясняется, зачем они нужны и как их применять. Поэтому они моментально улетучиваются из памяти, что, в свою очередь, приводит к неприятностям на устных опросах и контрольных работах.

Так вот: нужны эти свойства для того, чтобы мы на законных основаниях могли по своему усмотрению менять порядок вычислений при нахождении суммы большого числа слагаемых. Разумеется, мы не будем всякий раз подробно расписывать шаг за шагом порядок применения этих свойств. Мы просто будем иметь в виду, что

Любое изменения порядка суммирования может быть, в принципе, получено на основании свойств коммутативности и ассоциативности.

Ни проверять, ни доказывать это общее утверждение мы сейчас не станем, а примем его, что называется, на веру. Вообще-то, настоящие ученые-математики ничего на веру не принимают, но мы с вами пока что еще не совсем настоящие ученые.

Теперь нам осталось уточнить еще один важный момент. Мы знаем, что складывать можно не только натуральные числа, но и целые, которые бывают и отрицательными. Спрашивается: если в сумме присутствуют отрицательные числа, то можно ли и в этом случае произвольно менять порядок суммирования?

Рассуждения с кучками монет нам теперь не помогут, потому что очень трудно представить себе кучку с отрицательным количеством монет. Но мы поступим на этот раз по-научному. Достаточно лишь убедиться, что свойства коммутативности и ассоциативности сохраняются и в случае произвольных целых чисел. И тогда из нашего общего утверждения (принятого на веру) со всей определенностью будет следовать, что порядок суммирования никак не влияет на значение суммы, даже если среди слагаемых есть отрицательные числа. Напомню, кстати, что любую разность можно переписать в виде суммы, например:

5 − 3 = 5 + (−3),
5 − (4 − 1) = 5 + (−4) + 1.

Задачи

2.6.1. Вычислить наиболее удобным способом:

24 + 15 + 6
9 + 43 + 11
12 + 16 + 8 + 4
35 + 33 + 15 + 7
и т.п.

2.6.2. Вычислить наиболее удобным способом:

63 + 29 − 3
38 + 14 − 8
25 − 17 − 15 + 37
190 − 3 − 90 + 13
−23 + 69 + 33 − 9
и т.п.

2.6.3. Дана пара выражений. Вычислить значение того из них, для которого это сделать проще.

Фото из открытых Интернет-источников

Все-таки не зря говорят, что надежда умирает последней. Вот моя персональная решила выйти из комы – с работы в ближайшие месяцы точно не выпрут. Новости сегодняшние прямо маслицем (растопленным, натуральным сливочным) по изрядно проржавевшим нервам прошли.

Наконец-то прибыл второй совладелец нашей конторы, тот самый, который мою «замену» притащил. Представительного вида, при полном параде. Судя по загару только что с морского побережья, вежливо поздоровался и вошел к шефу.

О чем говорили, не знаю, потом вызвали саму «замену», вышла она обратно с недовольной физиономией и сразу начала собирать вещи. Молча, бросая на меня многообещающие взгляды, сгребла все со стола в пакет и двинулась в сторону бухгалтерии.

Порадоваться я не успела – пришлось топать «на ковер». Там мне навешали «комплиментов» за неспособность обучать и воспитывать молодые кадры, нежелание брать на себя ответственность и за что-то еще. Я не слишком внимательно слушала, достаточно было покаянно кивать.

В общем, забрали у меня «драгоценную помощницу» — перевели в более спокойное место и к более достойным наставникам.. В бухгалтерию.. Вопрос в том, что и у бухов нет свободной вакансии, но двигать тоже некого – все свои, действительно ценные кадры. Но это уже не моя проблема.

Самое смешное, что девушка ушла вместе с «беременным» стулом! Уж не знаю, зачем уволокла предмет мебели, но искренне надеюсь, что результат скоро будет. Если верить тому, что про этот стул рассказывают, то самая крепкая его обладательница продержалась целых два месяца. Остальным хватало от пары недель до месяца.

Буду ждать результата, у нас срок уже месяц примерно. За стулом приходили трижды, но я не отдала, уговорила потерпеть немножко – судьба у человека решается! А еще возникли у меня подозрения – что-то «стажёрка» выглядит второй день совсем несвежей. Зелененькая такая, как молодой огурчик. Причин может быть много, от перебора на вечеринке до отравления пирожным с белковым кремом. Любит девушка заварные, а белковый крем – вещь опасная.

Но мы пожелаем ей здоровья и будем надеяться на силу волшебного стула.

Предлагаю делиться прогнозами – сколько новенькая продержится в бухгалтерии и куда ее переведут потом?

Пишите, делитесь своими соображениями, можно лайками. И прогнозы на будущее принимаются с благодарностью.

Ранее мы говорили о порядке выполнения математических действий. Продолжим изучение математических законов и сегодня поговорим о следующем:

  • о переместительном законе сложения;
  • о сочетательном законе сложения;
  • о переместительном законе умножения;
  • о сочетательном законе умножения;
  • о распределительном законе.

Переместительный закон сложения

У Маши 3 яблока, а у Миши 4. Сколько яблок у детей?

Для решения этой задачи надо сложить вместе 3 Машиных яблока и 4 Мишиных:

3 + 4 = 7

Ответ: У детей 7 яблок.

А изменится ли ответ если яблоки складывать в другом порядке, то есть к 4 Мишиным прибавить 3 Машиных яблока?

4 + 3 = 7

Мы убедились, что не важно, в каком порядке складывать числа (слагаемые). Результат (сумма) будет одинаковым:

3 + 4 = 4 + 3 = 7

Это и есть переместительный закон сложения, он звучит так:

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Сочетательный закон сложения

В двух коробках лежат фломастеры по 80 штук в каждой. В одну коробку положили ещё 23 фломастера. Сколько всего стало фломастеров?

Эту задачу можно решить следующим образом:

(80 + 23) + 80 = 183

или так:

80 + (80 + 23) = 183

Результат получается один и тот же:

(80 + 23) + 80 = 80 + (80 + 23) = 183

Отсюда следует важное правило вычислений:

Складывая несколько слагаемых, можно группировать их в любом порядке.

Переместительный закон умножения

Катя купила 5 булочек по 20 рублей, а Коля 20 булочек по 5 рублей. Кто заплатил больше денег?

Итак, вычислим, сколько заплатила Катя:

5 × 20 = 100

Теперь вычислим, сколько заплатил Коля:

20 × 5 = 100

Мы видим, что результат одинаковый. Катя и Коля заплатили одинаковые суммы.

В результате решения этой задачи мы убедились, что не важно, в каком порядке перемножать числа (множители), результат (произведение) получится один и тот же:

5 × 20 = 20 × 5 = 100

Это и есть переместительный закон умножения, он звучит так:

От перемены мест множителей произведение не меняется.

Сочетательный закон умножения

В упаковке 6 пакетов сока. В контейнер входит 10 таких упаковок. Сколько пакетов сока входит в 5 таких контейнеров.

Решим эту задачу, вычислим, сколько пакетов сока в контейнере, а затем в 5 контейнерах:

(6 × 10) × 5 = 300

Можно вычислить сначала, сколько упаковок в 5 контейнерах, а затем, сколько всего пакетов сока:

6 × (10 × 5) = 300

Как бы мы не считали, получаем одинаковый результат:

(6 × 10) × 5 = 6 × (10 × 5) = 300

Таким образом, мы убедились в справедливости сочетательного закона умножения:

Перемножая множители, можно их группировать в любом порядке.

Распределительный закон

Вспомним, как можно вычислить периметр прямоугольника, длина которого 28 дм, а ширина 16 дм. Попробуем это сделать разными способами.

Итак, мы знаем, что для вычисления периметра прямоугольника, надо сложить длины всех его сторон:

28 + 28 + 16 + 16 = 88

Учитывая то, что в прямоугольнике 2 длины и 2 ширины можно вычислить периметр следующим способом:

28 × 2 + 16 × 2 = 88

Но ведь можно сложить длину и ширину и умножить на 2:

( 28 + 16) × 2

Таким образом, мы убедились, что можно сначала сложить длину и ширину, а затем умножить на 2, или сначала удвоить длину и ширину, а затем их сложить:

( 28 + 16) × 2 = 28 × 2 + 16 × 2 = 88

Решая нашу задачу, мы доказали справедливость распределительного закона:

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить каждое слагаемое на это число и потом сложить полученные произведения.

Решим ещё один пример: